Wzory matematyczne mogą być ważnym elementem pracy magisterskiej, jeśli dotyczą one problemu badawczego i służą do jego rozwiązania. W przypadku prac magisterskich z dziedziny nauk ścisłych, takich jak matematyka, fizyka czy informatyka, wzory matematyczne są często ważnym elementem pracy.
Jeśli w pracy magisterskiej wykorzystuje się wzory matematyczne, należy pamiętać o kilku ważnych kwestiach:
- Poprawność: wzory matematyczne powinny być poprawne pod względem matematycznym, co oznacza, że muszą być zgodne z aktualnymi założeniami matematycznymi.
- Czytelność: wzory matematyczne powinny być czytelne, co oznacza, że muszą być zapisane jasnym i czytelnym językiem matematycznym.
- Udokumentowanie: wzory matematyczne powinny być odpowiednio udokumentowane, co oznacza, że muszą być odpowiednio oznaczone i opatrzone odpowiednimi przypisami.
- Interpretacja: wzory matematyczne powinny być interpretowane i omówione w pracy, co oznacza, że trzeba wyjaśnić ich znaczenie i zastosowanie w kontekście problemu badawczego
- Sposób prezentacji: wzory matematyczne powinny być przedstawione w odpowiedni sposób, co oznacza, że powinny być odpowiednio oznaczone, opatrzone odpowiednimi przypisami i ilustracjami.
Wzory matematyczne, jeśli stosowane, powinny być wyśrodkowane i pisane czcionką 12 pkt. Wzory muszą być numerowane, należy podać znaczenie (legenda- 10pkt, odstęp 1,0 pkt) użytych oznaczeń, np.
(LT)[pj] = 0 [1.1]
gdzie:
L=[lij] – macierz intensywności o elementach diagonalnych -lii i pozadiagonalnych lij,
pj- wektor prawdopodobieństw granicznych.
Numeracja wzorów
wzory ponumerowano zgodnie ze schematem (x.y), gdzie x to numer rozdziału, a y – numer kolejnej formuły
Numer wzoru jest wyrównany do prawej, wzór powinien być „wyśrodkowany”.
Wzory matematyczne powinny być stosowane w pracy magisterskiej tylko wtedy, gdy rzeczywiście wspierają tok analizy. Nie ma potrzeby wprowadzać ich wyłącznie po to, aby nadać pracy bardziej naukowy charakter. Każdy wzór powinien mieć określoną funkcję: służyć obliczeniu konkretnej wartości, opisaniu zależności między zmiennymi, przedstawieniu modelu, zdefiniowaniu wskaźnika albo uporządkowaniu sposobu prowadzenia analizy. Jeżeli dana zależność może zostać przedstawiona prościej i bardziej czytelnie w formie tekstowej, użycie rozbudowanej formuły nie zawsze będzie uzasadnione.
Szczególnie ważna jest zgodność wzoru z treścią pracy. Jeżeli autor wprowadza formułę służącą do obliczania rentowności, płynności finansowej, wskaźnika korelacji, średniej arytmetycznej czy innej wielkości, powinien następnie rzeczywiście wykorzystać ją w części analitycznej. Zamieszczenie wzoru bez dalszego zastosowania sprawia wrażenie przypadkowego i może świadczyć o braku związku między częścią teoretyczną a badawczą.
Każdy wzór powinien zostać poprzedzony odpowiednim wprowadzeniem. Nie należy umieszczać formuły nagle, bez wyjaśnienia, czego dotyczy. Czytelnik powinien wcześniej otrzymać informację, w jakim celu dany wzór jest prezentowany i do czego będzie służył. Może to być krótkie zdanie typu: „Wskaźnik płynności bieżącej można obliczyć według następującego wzoru” albo „Do określenia dynamiki badanego zjawiska zastosowano następującą formułę”.
Po wzorze powinno natomiast znaleźć się jego omówienie. Sam zapis matematyczny nie zawsze jest wystarczający, zwłaszcza jeśli praca jest przeznaczona również dla czytelników, którzy nie posługują się daną formułą na co dzień. Należy wyjaśnić znaczenie symboli, jednostki oraz sposób interpretacji otrzymanego wyniku. W pracy ekonomicznej czy finansowej informacja, że wskaźnik wyniósł 1,4, ma niewielką wartość bez wyjaśnienia, co taka wartość oznacza.
Legenda stosowanych oznaczeń powinna być bezpośrednio związana ze wzorem. Każdy symbol, który nie jest oczywisty, powinien zostać opisany. Jeśli przykładowo wzór przyjmuje postać:
ROA = ZN / A × 100%
należy wyjaśnić, że:
ROA – stopa zwrotu z aktywów,
ZN – zysk netto,
A – wartość aktywów.
Nie należy zakładać, że wszystkie skróty i oznaczenia będą oczywiste dla każdego odbiorcy. W przypadku symboli wykorzystywanych wielokrotnie w całej pracy można również rozważyć przygotowanie osobnego wykazu oznaczeń.
Ważne jest konsekwentne stosowanie symboli. Jeżeli określona zmienna została oznaczona literą X, nie należy w kolejnych częściach pracy używać dla niej litery x₁, A albo innego symbolu bez wyjaśnienia. Niespójność oznaczeń bardzo szybko utrudnia czytanie tekstu, zwłaszcza gdy w analizie występuje wiele zależności matematycznych.
Podobna zasada dotyczy indeksów dolnych i górnych. Jeżeli indeks oznacza okres, przedsiębiorstwo, rodzaj zmiennej lub konkretny element zbioru, sposób ten powinien być stosowany w całej pracy jednolicie. Przy bardziej rozbudowanych modelach dobrze jest wyjaśnić, co oznaczają poszczególne indeksy, np. i – numer obserwacji, t – okres czasu, j – numer zmiennej.
Numeracja wzorów jest szczególnie przydatna w pracach zawierających większą liczbę formuł. Pozwala później łatwo odwoływać się do konkretnego wzoru w tekście. Zamiast pisać „zgodnie z powyższym wzorem”, lepiej zastosować sformułowanie „zgodnie ze wzorem (2.4)”. Jest to szczególnie istotne wtedy, gdy pomiędzy formułą a jej późniejszym wykorzystaniem znajduje się kilka stron tekstu.
Jeżeli stosowana jest numeracja powiązana z rozdziałami, pierwszy numer wskazuje numer rozdziału, a drugi kolejność wzoru. Przykładowo wzór (3.2) będzie oznaczał drugi wzór w rozdziale trzecim. Takie rozwiązanie sprawdza się dobrze w dłuższych pracach, ponieważ ułatwia orientację i pozwala uniknąć bardzo wysokich numerów kolejnych formuł.
Możliwe jest również stosowanie numeracji ciągłej, na przykład (1), (2), (3), niezależnie od podziału na rozdziały. Wybór konkretnego rozwiązania powinien wynikać z wytycznych uczelni lub ustaleń z promotorem. Najważniejsze jest zachowanie jednego sposobu numeracji od początku do końca pracy.
Numer wzoru powinien być umieszczony w sposób czytelny i jednolity. Najczęściej sam wzór znajduje się na środku strony, a numer jest wyrównany do prawego marginesu. Nie powinno się tworzyć takiego układu za pomocą wielokrotnego naciskania spacji. Lepiej wykorzystać tabulatory, tabelę z niewidocznymi obramowaniami albo odpowiednie ustawienia edytora tekstu.
W przypadku pracy przygotowywanej w programie Word warto korzystać z wbudowanego edytora równań. Pozwala on poprawnie zapisywać ułamki, indeksy, pierwiastki, całki, sumy, macierze i inne symbole matematyczne. Ręczne tworzenie wzorów za pomocą zwykłych znaków tekstowych może prowadzić do problemów z wyrównaniem, czytelnością i późniejszym formatowaniem dokumentu.
Nie należy wstawiać wzorów jako obrazów, jeśli można je przygotować w edytorze równań. Obraz może mieć inną rozdzielczość niż tekst, gorzej wyglądać po zmianie skali i utrudniać późniejszą edycję. Wzór utworzony jako element matematyczny pozostaje czytelny i można go łatwo poprawić w przypadku wykrycia błędu.
Szczególną uwagę należy zwrócić na zapis ułamków. Krótkie zależności można czasem przedstawić liniowo, na przykład a/b, ale bardziej rozbudowane wzory zwykle lepiej zapisywać w klasycznej postaci z licznikiem i mianownikiem. Zwiększa to czytelność i ogranicza ryzyko błędnej interpretacji.
Wzory powinny również uwzględniać poprawny zapis jednostek. Jeśli obliczane wartości są wyrażane w procentach, złotych, kilometrach, kilogramach, sekundach czy innych jednostkach, należy stosować poprawne symbole. Jednostka nie jest częścią zmiennej i powinna być odpowiednio oddzielona od wartości liczbowej. W całej pracy trzeba zachować jednolitą konwencję zapisu.
Jeżeli wynik obliczenia podawany jest bezpośrednio pod wzorem, należy zachować odpowiednią dokładność. Nie warto przedstawiać nadmiernej liczby miejsc po przecinku, jeśli nie ma to znaczenia dla analizy. Wynik 12,374829% może sugerować pozorną precyzję, podczas gdy w praktyce wystarczyłoby 12,37%. Liczba miejsc po przecinku powinna wynikać z charakteru analizowanych danych.
Równie ważne jest jednolite zaokrąglanie wyników. Jeśli w jednej tabeli wartości podawane są z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku, w kolejnych obliczeniach należy stosować podobną zasadę, chyba że istnieje merytoryczne uzasadnienie dla innego stopnia dokładności. Brak konsekwencji może utrudnić porównywanie wyników.
Wzory zaczerpnięte z literatury powinny mieć podane źródło. Dotyczy to zwłaszcza bardziej złożonych modeli, wskaźników lub formuł przypisywanych konkretnemu autorowi. Jeśli wzór jest powszechnie znany i ma charakter podstawowy, sposób jego dokumentowania może zależeć od przyjętych zasad. W razie wątpliwości bezpieczniej jest wskazać źródło, szczególnie gdy wraz ze wzorem przejmowany jest również sposób jego interpretacji.
Jeśli autor samodzielnie przekształcił wzór albo opracował własny model na podstawie kilku innych zależności, warto jasno to zaznaczyć. Można opisać kolejne etapy przekształcenia i wskazać, na jakich założeniach się oparto. Czytelnik powinien mieć możliwość prześledzenia toku rozumowania i oceny poprawności zastosowanej metody.
Nie należy pomijać założeń obowiązujących przy stosowaniu konkretnego wzoru. W niektórych modelach matematycznych wynik ma sens tylko przy spełnieniu określonych warunków. Jeśli na przykład dana formuła zakłada dodatnią wartość mianownika, określoną liczebność próby albo spełnienie warunku normalności rozkładu, powinno to zostać wyjaśnione.
Szczególnie ważne jest to w pracach wykorzystujących statystykę. Autor nie powinien mechanicznie obliczać współczynników czy testów bez sprawdzenia, czy ich zastosowanie jest metodologicznie uzasadnione. Wzór nie jest jedynie narzędziem rachunkowym, ale elementem określonej metody analitycznej.
Jeżeli w pracy występują wzory statystyczne, warto wyjaśnić również interpretację ich rezultatów. Podanie współczynnika korelacji, wariancji, odchylenia standardowego czy wartości testu nie wystarcza. Należy wskazać, co uzyskany wynik mówi o badanym zjawisku i w jaki sposób odnosi się do problemu badawczego.
W pracach finansowych często stosowane są wskaźniki, których konstrukcja jest stosunkowo prosta, ale interpretacja wymaga kontekstu. Wskaźnik płynności, rentowności czy zadłużenia nie powinien być analizowany wyłącznie na podstawie samego wzoru. Trzeba uwzględnić specyfikę branży, zmiany w czasie oraz inne informacje dotyczące przedsiębiorstwa.
Jeżeli obliczenia są wykonywane dla wielu okresów lub obiektów, nie ma potrzeby wielokrotnego przepisywania tego samego wzoru. Wystarczy podać go raz, wyjaśnić oznaczenia, a następnie przedstawić wyniki w tabeli. Pozwala to uniknąć niepotrzebnego rozbudowywania tekstu.
Przy bardziej skomplikowanych obliczeniach warto pokazać przynajmniej jeden przykład podstawienia danych do wzoru. Dzięki temu czytelnik może sprawdzić, czy formuła została zastosowana poprawnie. Nie trzeba jednak przedstawiać wszystkich działań rachunkowych, jeśli kolejne obliczenia przebiegają według identycznego schematu.
Przykładowo po podaniu wzoru na wskaźnik rentowności można wykonać jedno przykładowe obliczenie dla pierwszego roku, a następnie zestawić wartości za kolejne lata w tabeli. Takie rozwiązanie zapewnia zarówno przejrzystość, jak i możliwość weryfikacji sposobu postępowania.
W pracy zawierającej bardzo dużą liczbę wzorów można rozważyć utworzenie wykazu wzorów lub symboli, jeżeli pozwalają na to wymagania uczelni. Nie jest to jednak konieczne w każdej pracy. Przy kilku prostych formułach wystarczy ich poprawne ponumerowanie i opisanie bezpośrednio w tekście.
Ważne jest także rozmieszczenie wzorów na stronie. Formuła nie powinna znajdować się samotnie na początku lub końcu strony bez związku z otaczającym tekstem. Dobrze, gdy poprzedzające zdanie wprowadza wzór, a bezpośrednio po nim znajduje się legenda lub interpretacja. Dzięki temu wzór staje się naturalną częścią wywodu.
Należy unikać dzielenia pojedynczego wzoru między dwie strony. Przy bardzo rozbudowanych formułach trzeba tak zaplanować układ dokumentu, aby cały zapis znajdował się w jednym miejscu. Jeśli równanie obejmuje kilka wierszy, poszczególne części powinny zostać uporządkowane i wyrównane zgodnie z zasadami zapisu matematycznego.
Wielkość czcionki użytej we wzorach powinna być dopasowana do tekstu głównego i zaleceń redakcyjnych. Nie należy zmniejszać formuły tylko po to, aby zmieściła się w jednym wierszu, jeśli prowadzi to do utraty czytelności. Lepiej odpowiednio podzielić wzór albo zastosować inny sposób zapisu.
W pracy magisterskiej szczególnie źle wyglądają wzory wklejone z różnych źródeł w odmiennej stylistyce. Jeden może być napisany innym krojem pisma, drugi posiadać inny rozmiar indeksów, a trzeci wyglądać jak fragment skanu. Wszystkie formuły warto przygotować samodzielnie w jednym edytorze, zachowując jednolity wygląd.
Przed oddaniem pracy należy sprawdzić poprawność wszystkich oznaczeń i numeracji. Częstym błędem jest usunięcie jednego wzoru bez zmiany numerów kolejnych albo pozostawienie w tekście odwołania do formuły, której numer zmienił się podczas redakcji. Przy większej liczbie równań pomocne może być stosowanie automatycznych odwołań.
Warto również sprawdzić, czy każdy symbol występujący we wzorze został zdefiniowany. Autor, który przez wiele miesięcy pracował nad określonym zagadnieniem, często uznaje niektóre oznaczenia za oczywiste. Dla czytelnika mogą jednak być zupełnie niejasne. Ostateczna korekta powinna być przeprowadzona właśnie z perspektywy osoby, która po raz pierwszy zapoznaje się z zastosowanym modelem.
Nie można również zapominać o językowym powiązaniu wzorów z tekstem. Formuła nie jest elementem niezależnym od zdania. Wprowadzenie do niej i omówienie wyniku powinny tworzyć płynny wywód. Należy unikać mechanicznego zestawiania kolejnych wzorów jeden pod drugim bez komentarza.
Dobrze przygotowane wzory matematyczne zwiększają wartość pracy wtedy, gdy rzeczywiście pomagają analizować badany problem. Powinny być poprawne, czytelne, konsekwentnie ponumerowane i odpowiednio omówione. Ich liczba nie świadczy sama w sobie o poziomie naukowym opracowania. Znacznie ważniejsze jest to, czy autor rozumie stosowane zależności i potrafi właściwie wykorzystać je do interpretacji badanego zjawiska.
Każdy wzór powinien odpowiadać na trzy podstawowe pytania: po co został wprowadzony, co oznaczają jego poszczególne elementy oraz w jaki sposób wynik obliczenia zostanie wykorzystany w dalszej analizie. Jeśli autor potrafi jasno odpowiedzieć na te pytania, formuła ma uzasadnione miejsce w pracy. Jeżeli natomiast wzór pozostaje jedynie ozdobnym elementem bez związku z wnioskami, warto rozważyć jego usunięcie.